väliarvot

Väliarvot tarkoittavat arvoja, jotka sijoittuvat kahden muun arvon väliin. Matematiikassa termiä käytetään erityisesti kuvaamaan arvoja, joita funktio f(x) ottaa määrittelyalueellaan välillä [a,b], eli arvoja f(a) ja f(b) väliltä.

Väliarvolause (intermediate value theorem) kuuluu: Jos f on jatkuva välillä [a,b] ja y on arvo, jonka kuuluu f(a) ja f(b) väliin, niin on c ∈ [a,b] sellainen, että f(c) = y. Tämä osoittaa, että jatkuva funktio ottaa käyttöön kaikki väliin jäävät arvot.

Esimerkki: f(x) = x on jatkuva välillä [−1,1]. Sillä on väliarvot, eli jokainen y ∈ [−1,1] saavutetaan joillain x ∈ [−1,1] siten, että f(x) = y. Toisenlainen esimerkki: f(x) = x^2 on jatkuva välillä [−1,1] ja antaa arvot [0,1], eikä se tuota negatiivisia arvoja; väliarvolause takaa kuitenkin, että jos kysymys on arvojen välillä, tietyt arvojen väliltä voidaan saavuttaa.

Väliarvot liittyvät sekä teoreettiseen että soveltavaan matematiikkaan: ne auttavat todistamaan yhtälöiden ratkaisujen olemassaoloa ja ovat pohjana monille numeerisille ratkaisutavoille, kuten juurten etsimiselle bracketing-menetelmillä.

Termiä käytetään erityisesti yhdessä väliarvolauseen kanssa. Etymologisesti väli- tarkoittaa "välin", arvo "value".