vielfaches

Vielfaches einer ganzen Zahl a ist jede ganze Zahl b, für die es eine ganze Zahl k mit b = a · k gibt. Die Menge der Vielfachen von a ist daher a · Z = {a · k | k ∈ Z}. Für a ≠ 0 gibt es unendlich viele Vielfache, einschließlich positiver, negativer Vielfache und Null. Ist a = 0, so ist nur 0 ein Vielfaches von 0.

Beispiele verdeutlichen das Prinzip: Vielfache von 4 sind zum Beispiel ..., -8, -4, 0, 4, 8, 12, ...; Vielfache von -7 entsprechen denselben Vielfachen wie Vielfache von 7, da sie durch Multiplikation mit einer ganzen Zahl entstehen.

Zusammenhang mit Divisibilität: Man sagt, b ist Vielfaches von a, wenn es ein k ∈ Z gibt mit b = a · k. Damit gilt a teilt b oder kurz a | b. Der Begriff des kleinsten gemeinsamen Vielfachen (kgV) bezieht sich auf zwei oder mehr Zahlen: Die Menge ihrer gemeinsamen Vielfachen ist die Vielfachenmenge von lcm(a, b), dem kleinsten positiven gemeinsamen Vielfachen. Für nicht-null Zahlen gilt lcm(a, b) = |a · b| / gcd(a, b). Bei Null gelten spezielle Konventionen, da die Vielfachen von 0 nur 0 sind.

Vielfache spielen eine zentrale Rolle in der Zahlentheorie, etwa bei der Untersuchung von Teilern, Resten, dem ggT und dem kgV sowie bei Diophantischen Gleichungen.