vektorianalyysissä

Vektorianalyysi on matematiikan ala, joka tutkii vektoreita moniulotteisissa avaruuksissa. Se yhdistää differentiaalilaskennan ja integraalilaskennan käsitteet vektoreihin. Keskeisiä työkaluja vektoriianalyysissä ovat vektoriarvoiset funktiot, jotka kuvaavat suureita, joilla on sekä suuruus että suunta. Tällaisia funktioita käytetään esimerkiksi fysiikassa kuvaamaan nopeuksia, voimia tai sähkömagneettisia kenttiä.

Tärkeitä operaatioita vektoriianalyysissä ovat gradientti, divergenssi ja roottori. Gradientti kuvaa funktion suurinta kasvunopeutta ja suuntaa pistemääräisessä avaruudessa. Divergenssi mittaa vektorikentän "lähteiden" tai "nielujen" voimakkuutta tietyssä pisteessä. Roottori puolestaan kuvaa vektorikentän pyörteisyyttä. Nämä operaatiot ovat fundamentaalisia monilla fysiikan ja insinööritieteiden aloilla, kuten hydrodynamiikassa, sähkömagnetismissa ja kvanttimekaniikassa.

Vektoriianalyysiin liittyvät myös viivaintegraalit ja pintaintegraalit. Viivaintegraalit mahdollistavat esimerkiksi vektorikentän työn laskemisen tiettyä polkua pitkin. Pintaintegraaleja käytetään puolestaan laskemaan vektorikentän vuota tietyn pinnan läpi. Näillä integraaleilla on merkitystä esimerkiksi työn laskemisessa kappaleiden liikuttamisessa ja sähkömagneettisten ilmiöiden mallintamisessa. Vektoriianalyysin perusteita, kuten Greenin lausetta, Stokesin lausetta ja Gaussin divergenssilausetta, käytetään näiden integraalien välisen suhteen ymmärtämiseen ja laskennallisten ongelmien yksinkertaistamiseen.