vektorfunktioner

Vektorfunktioner er funktioner, der til hver parameterværdi t i et interval I ⊂ R tilknytter en vektor i R^n. Typisk skrives de som r(t) = (x1(t), x2(t), ..., xn(t)). I praksis arbejder man ofte i to- eller tredimensionelle rum, f.eks. r(t) = (x(t), y(t)) i R^2 eller r(t) = (x(t), y(t), z(t)) i R^3. Domænet I bestemmes af, hvor koordinaterne er defineret.

Geometrisk beskriver en vektorfunktion en kurve i R^n: for hver t fås et punkt r(t) på kurven, og hele kurven fås ved at lade t variere over I. Den grundlæggende operation er differentiation: r'(t) er hastigheden langs kurven, og ||r'(t)|| er farten. Længden af kurven mellem a og b er L = ∫_a^b ||r'(t)|| dt. Endelig kan man beskrive kurven ved hjælp af r''(t), som er accelerationen.

I praksis består en vektorfunktion af koordinatfunktionerne x1(t), x2(t), ..., xn(t). Hver koordinat er en skalarfunktion af t, og r(t) kan ændres ved lineære kombinationer og multiplikation med konstanter. I R^3 kan krydproduktet r'(t) × r''(t) bruges til at beregne kurvatur κ(t) under forudsætning af r'(t) ≠ 0.

Eksempler: r(t) = (cos t, sin t) parameteriserer enhedskredsløbet i planet; r(t) = (t, t^2, t^3) beskriver en rumkurve.

Anvendelser findes i fysik til modellering af partikelbevægelser, i computergrafik til tegning af kurver og i ingeniørvidenskab til planlægning af bevægelsesbaner.