undermengder

Undermengder er et grunnleggende begrep i mengdelære som beskriver forholdet mellom to mengder, der hvert element i den første mengden også finnes i den andre. Hvis hvert element i A også finnes i B, sier man at A er en undermengde av B og skriver A ⊆ B. Når A også er forskjellig fra B, kalles A en ekte (eller ordentlig) undermengde av B, ofte notert A ⊂ B.

Et enkelt eksempel er A = {1, 2} og B = {1, 2, 3, 4}. Her er A ⊆ B og A ⊂ B. Motsetningen, der A ikke har alle elementer som finnes i B, oppstår hvis A ikke er en undermengde av B.

Tre viktige punkter er at ∅ er en undermengde av alle mengder, og at hver mengde er en undermine av seg selv (A ⊆ A). Undermengdeforholdet gir også en naturlig orden mellom mengder: hvis A ⊆ B og B ⊆ C, følger det at A ⊆ C.

Operasjonelt følger det av at A ⊆ B at A ∪ B = B og A ∩ B = A. Mengder og undermengder brukes bredt i logikk, sannhetsverdier, definisjon av domene for funksjoner og relasjoner, og i bevisforeninger innen matematikk.

I praksis er undermengder et verktøy for å beskrive hvordan små sett ligger inni større sett, og brukes til å sammenligne mengder, beskrive egenskaper for funksjoner og relasjoner, samt å bygge opp mer komplekse strukturer fra enklere delmengder.