underdämpade

Underdämpade beskriver ett system som efter en störning oscillerar med avtagande amplitud. I mekaniska och elektrotekniska sammanhang används ofta en andra ordningens modell där dämpningen är mindre än kritisk, så kallad dämpningsfaktor ζ (zeta) är mindre än 1.

Matematisk modell och nyckelbegrepp

Ett enkelt mass–slinga–dämpsystem beskrivs av m x'' + c x' + k x = 0, där m är massa, c är dämpning och k är styvhet. Den naturliga frekvensen är ω_n = sqrt(k/m) och dämpningsfaktornζ = c / (2 sqrt(m k)) = c / (2 m ω_n). Systemet är underdämpat när ζ < 1.

Lösning och beteende

Om ζ < 1 har lösningen x(t) = e^{-ζ ω_n t} [A cos(ω_d t) + B sin(ω_d t)], där ω_d = ω_n sqrt(1 − ζ^2) är den dämpade frekvensen. Amplituden decelererar enligt en exponentiell envelope. Resultatet är en oscillerande respons med avtagande svängning över tid, ofta kallad ringing.

Jämförelse och konsekvenser

Underdämpade system skiljer sig från överdämpade (ingen oscillation, långsammare återhämtning) och kritiskt dämpade (minsta möjliga återhämtning utan svängningar). I praktiken påverkar dämpningen hur snabbt ett system återgår till jämvikt och hur stor överskridningen blir vid snabba störningar.

Tillämpningar

Underdämpning är vanligt i mekaniska sammanhang som bilupphängningar och byggnadsstrukturer samt i elektriska kretsar som serier RLC-kretsar. Dämpning regleras ofta för att balansera snabb respons och oönskad ringing.