türevler

Türevler, bir fonksiyonun belirli bir noktadaki ani değişim hızını ölçen temel kavramlardır. Bir fonksiyon f için türev, f'(x) veya df/dx ile gösterilir ve tanımlı olduğu noktada f’ın x etrafında nasıl değiştiğini verir. Türev, limit olarak şu şekilde tanımlanır: f'(x) = lim_{h→0} (f(x+h) − f(x))/h.

Geometrik olarak türev, grafiğin x = x0 noktasındaki teğetin eğimidir ve yer değiştirme ile zaman gibi değişkenler arasındaki orantıyı ifade eder. Örneğin konum fonksiyonu s(t) için türev hızlılığı (hız) verir; hızın türevi ise ivme olur.

Türevlerin varlığı ve sınırlamaları: Bir fonksiyon türevli olduğunda genelde süreklidir, ancak süreklilik türevi garanti etmez. Bir noktada türev alınamıyorsa bunun nedenleri keskin dönüşler (köşe), yumuşak olmayan davranışlar veya fonksiyonun o noktada tanımsız olması olabilir. Örneğin |x| işlevinin x = 0 noktasında türevi yoktur.

Temel türev kuralları: Toplama kuralı (f + g)' = f' + g'; çarpım kuralı (fg)' = f'g + fg'; bölüm kuralı (f/g)' = (f'g − fg')/g^2. Zincir kuralı ile birleşik fonksiyonlar için (f ∘ g)'(x) = f'(g(x)) · g'(x). Güç kuralı, d/dx x^n = n x^{n−1} (n sabit), trigonometri için d/dx sin x = cos x, d/dx cos x = −sin x, d/dx e^x = e^x ve d/dx ln x = 1/x (x > 0).

İkinci türev ve uygulamaları: f''(x) ikinci türevi verir; konvekslik, ivme ve optimizasyon gibi konularda kullanılır. Kritik noktalar, f'(x) = 0 veya türevin tanımsız olduğu noktalardır; ikinci türev testi veya birinci türev testi ile maksimum veya minimum bulunabilir. Türevler, hareketten optimizasyona kadar pek çok alanda temel araçtır.