Türev

Türev, diferansiyel kalkülüsün temel kavramlarından biridir ve bir fonksiyonun belirli bir noktadaki anlık değişim hızını ölçer. Bir fonksiyon f tanımlı bir aralıkta x0 için türev f'(x0) şu limitle tanımlanır: f'(x0) = lim_{h→0} (f(x0 + h) − f(x0)) / h. Bu gösterim, dy/dx veya df/dx gibi notasyonlarla da ifade edilir.

Geometrik olarak türev, grafiğin x0 noktasındaki teğetin eğimini verir. Yani f'(x0), grafiğin o noktadaki eğimini gösterir ve aynı zamanda fonksiyonun o noktadaki anlık değişim hızını yansıtır.

Varlık koşulları olarak türev, o noktada diferansiyellenebilir olmayı gerektirir; bu çoğunlukla fonksiyonun sürekliliğini de içerir, ancak süreklilik türevin varlığı için yeterli değildir. Köşe, sivri uç veya yatay olmayan teğetler gibi durumlarda türev yok olabilir.

Türev kuralları arasında toplama, çarpma, bölme ve zincir kuralı bulunur. Temel türevler arasında güç kuralı d/dx x^n = n x^{n-1} (n sabit), e^x’in türevi e^x, ln x’in türevi 1/x (x > 0) sayılabilir. Çok değişkenli fonksiyonlarda ise kısmi türevler ve yönlü türevler hesaplanır.

İkincil türev f''(x) fonksiyonun ivmesi veya konveksitesi hakkında bilgi verir. Uygulamalar arasında hareket hızının pozisyondan türevi olarak hesaplanması, marjinal değişimlerin incelenmesi ve ekonomik analizlerde hızlı değişimlere ilişkin çıkarımlar yer alır.

Örnek olarak f(x) = x^2 için türev f'(x) = 2x’dır; x = 3’da türev 6’dır.