tvåstegsmetoder

Tvåstegsmetoder är en klass av linjära multistep-metoder som används för att lösa initialvärdesproblem y' = f(t, y) med y(t0) = y0. Dessa metoder bygger på information från två tidigare tidsteg för att uppskatta nästa värde, vanligtvis y_{n+2}. Den allmänna formen skrivs ofta som y_{n+2} = -a1 y_{n+1} - a0 y_n + h (b0 f_{n+1} + b1 f_n), där f_k = f(t_k, y_k). Beroende på koefficienterna kan metoden vara explicit eller implicit.

Exempel på tvåstegsmetoder är Adams-Bashforth tvåstegsmetod (AB2) och Adams-Moulton tvåstegsmetod (AM2). AB2 är en explicit metod given av y_{n+2} = y_{n+1} + (h/2)[3 f_{n+1} - f_n], vilket har ordning två. AM2 är en implicit metod som ofta skrivs som y_{n+2} = y_{n+1} + (h/12)[5 f_{n+2} + 8 f_{n+1} - f_n], där f_{n+2} beräknas från y_{n+2}. AM2 uppnår ordning tre och kräver lösning av en implicit ekvation varje steg. Andra tvåstegsmetoder används också, till exempel BDF2 (Backwards Differentiation Formula), som är implicit och vanligtvis används för styva problem.

Startvillkor: eftersom metoden använder två tidigare y-värden krävs två initialvärden, vanligtvis erhållna med en en-stegsmetod som Runge–Kutta eller genom ett tidigare steg i multistep-schemat.

Användning och egenskaper: tvåstegsmetoder kan vara effektiva när flera steg räknas samtidigt eller när lagrade värden utnyttjas. Explicit tvåstegsmetoder är vanligtvis villkorligt stabila och passar icke-stela problem, medan implicita tvåstegsmetoder ofta har bättre stabilitet och används vid styva problem. Val av metod och steglängd påverkar noggrannhet och stabilitet.

Se även: multistep-metoder, Adams-family, BDF.