tiheysmatriisillä

Tiheysmatriisi (density matrix) on tilan kuvaus kvanttisessa mekaniikassa. Se kuuluu Hilbertin tilan operaattoreihin ja ρ-kanta kuvaa sekä puhtaita tiloja että sekoittuneita tiloja. ρ on positiivisesti semidefiniittinen, Hermitean ja sen jälki on yksi (tr(ρ) = 1). Puhtaan tilan tapauksessa ρ = |ψ⟩⟨ψ| ja ρ on projekti, jolloin ρ^2 = ρ. Sekoitetut tilat voidaan esittää tilajakeluna ρ = ∑_i p_i |ψ_i⟩⟨ψ_i|, jossa p_i ≥ 0 ja ∑ p_i = 1.

Odotusarvot observoinneille A lasketaan ⟨A⟩ = Tr(ρ A). Puhtaan tilan tapauksessa tämä palauttaa tavallisen Bornin säännön. Tiheysmatriisin avulla voidaan kuvaa sekä kvanttisien tilojen tilajakaumaa että aaltotason epävarmuuksia. Puriteetti, P = Tr(ρ^2), mittaa tilan "puhtautta"; P = 1 vastaa puhdasta tilaa, pienempi arvo viittaa sekoittuneisuuteen.

Kehitys ja dynamiikka: suljetuissa järjestelmissä ρ kehittyy von Neumannin yhtälön mukaan iħ dρ/dt = [H, ρ]. Avoimissa järjestelmissä käytetään Lindbladin master-yhtälöä dρ/dt = -i/ħ [H, ρ] + ∑_k (L_k ρ L_k† - 1/2 {L_k† L_k, ρ}), missä L_k ovat vuorovaikutus- tai dissipatiivisia operaatoreita. Osittainen rakenne: ρ_A = Tr_B ρ kuvaa osajärjestelmän tilan; jos kokonaistila on puhdas mutta ρ_A on sekoittunut, esiintyy kvantti-entanglementtia.

Sovellukset: tiheysmatriisi on keskeinen työkalu kvanttihakuihin, kvanttitekniikoihin, kvanttiohjauksiin sekä termodynamiikan ja decoherencian tutkimukseen. Se tarjoaa yhtenäisen kehyksen sekä tilojen että niiden mittausten ja dynamiikan kuvaamiseen.