természetszámok

A természetszámok (természetes számok) a matematika egyik alapfogalma, amely az egészek közé tartozó számok egy gyakran használt halmazát jelenti. A definíció attól függ, hogy tartalmazza-e a nullát: N lehet {0,1,2, …} vagy {1,2,3, …}. Mindkét konvenció érvényes, a kontextus árulkodik arról, melyiket alkalmazzák.

A természetszámokra jellemző, hogy zártak az összeadással és a szorzással: ha m és n természetes szám, akkor m+n és m×n szintén természetes szám. A természetes számok sorrendje a szokásos rend szerint értelmezett, és minden nem üres részhalmaznak van legkisebb eleme, ami a jól rendezés tulajdonsága. Ezen felül a számokkal végzett indukció fontosságát is mutatja az, hogy bizonyos mondatok igazsága megállapítható az alapvető kezdőelem és az utódfüggvény segítségével.

A Peano-axiomák adják meg a természetes számok formalizált alapjait: van egy első elem (általában 0 vagy 1) és egy sikeror függvény, amely minden természetes számhoz hozzárendel egy utódot, továbbá a nulla kivételével minden számhoz szerepelhat a bizonyítási lépés. Az indukciós elv szerint ha egy tulajdonság igaz 0-nál (vagy 1-nél), és ha igaz P(n) ⇒ P(n+1) minden n-re, akkor a tulajdonság igaz minden természetes számra.

A természetes számok a számelmélet alapjai: például a prímszámok olyan természetes számok, amelyeknek csak 1 és önmaga a pozitív osztói; a 0 és az 1 különleges státuszúak. A halmaz a matematika sok területén nélkülözhetetlen; a faktorizációtól a kombinatorikán át az analízisig nélkülözhetetlen eszközök alapját képezik.