sottogruppo

Un sottogruppo di un gruppo G è un sottoinsieme H di G che, con l’operazione di G, è a sua volta un gruppo. In altre parole, H non è vuoto, contiene l’identità di G e rispetta la chiusura: per ogni h1, h2 in H si ha h1h2 in H e per ogni h in H si ha l’inverso h^{-1} in H. Se tali condizioni sono soddisfatte, H è un sottogruppo di G, denotato spesso con H ≤ G o H ⊲ G quando è normale.

Esempi comuni includono, in (Z, +), l’insieme dei multipli di 2, 2Z, che è un sottogruppo di Z; in (R*, ×) l’insieme {1, −1} è un sottogruppo finito. Ogni elemento g di G genera un sottogruppo ciclico <g> = {g^n : n ∈ Z} (o {na : n ∈ Z} in gruppi additivi).

I sottogruppi si classificano anche come proprio o non proprio: proprino se H ≠ G, e normale se gHg^{-1} = H per ogni g in G. Se H è normale, è possibile costruire il gruppo quoziente G/H, che cattura la struttura di G modulo H.

Altre proprietà utili includono il teorema di Lagrange, che in gruppi finiti stabilisce che l’ordine di un sottogruppo divide l’ordine di G, e che l’intersezione di qualunque famiglia di sottogruppi è anch’esso un sottogruppo. I sottogruppi sono strumenti fondamentali per l’analisi strutturale di un gruppo e per la costruzione di nuovi gruppi tramite estensioni o quotient.