skiftoperatorer

Skiftoperatorer är linjära operatorer som förskjuter argumentet hos en funktion eller en följd. De uppträder ofta i funktionalanalys och signalbehandling där tidsförskjutningar modelleras av sådana operatorer. Beroende på om de verkar på funktioner över ett konstant tidsrum eller över en diskret följd skiljer sig definitioner och egenskaper något.

Diskreta skiftoperatorer används ofta på l2-följder. Ett exempel är ensidigt skift S på rummet l2(N), definierat av (Sx)_n = x_{n+1}. Den bakåtskiftade S* har (S*f)_n = x_{n-1} med initialvärdet x_{-1} = 0. S är en isoetriell men inte surjektiv; dess adjoint är S*. Spektrumet av den ensidiga skiftoperatorn är den slutna enhetscirkeln, och punktspektrumet (eigenvärdena) består av alla λ med |λ|<1. På det tvåsidiga fallet, den bilaterala skiftoperatorn på l2(Z): (Sx)_n = x_{n+1}, är den unitär och inverterbar med S^{-1} = S*. Dess spektrum är enhetscirkeln; den har vanligtvis inget icke-noll punktspektrum.

Kontinuerliga skiftoperatorer används på funktioner i Lp(R). För h ∈ R definieras T_h f(t) = f(t+h). Dessa translationer bildar en kontinuerlig enhetsgrupp i L2(R) och är därmed unitära. I frekvensdomänen motsvarar ett skifte modulering: Fourier-transformen av T_h f är e^{iωh} F{f}(ω). Således är skiftoperatorer centrala i analysen av tidsförskjutningar och deras inverkan på frekvensinnehållet.

Användningsområden inkluderar signalbehandling, tidsserieanalys och studier av dynamiska system samt allmän operator- och funktionalanalystolkning av förskjutningar.