segédmátrixnak

A segédmátrixnak, vagy más néven *companion matrix*-nak, a lineáris algebra területén fontos szerepe van a lineáris rekurrens sorozatok és polinomok reprezentációjában. Egy *n*-dimenziós segédmátrix egy speciális *n×n*-méretű mátrix, amely egy adott monikus polinomnak megfelelő lineáris operátort reprezentálja. A mátrix első sorában a polinom együtthatói szerepelnek, de fordított sorrendben, míg az első oszlopban a polinom együtthatói negatív értékeivel, kivéve az utolsó elemet, amely mindig 1. A többi elem 0.

A segédmátrix legfontosabb tulajdonsága, hogy a polinomnak megfelelő karakterisztikus polinomja pontosan az eredeti polinom. Ez azt jelenti, hogy ha egy polinom *p(x) = x^n + a_{n-1}x^{n-1} + ... + a_0*, akkor a hozzá tartozó segédmátrix *C* a következő alakú lesz:

1 -a_{n-1} -a_{n-2} ... -a_1

1 0 0 ... 0

0 1 0 ... 0

...

0 0 0 ... 1

A segédmátrixek hasznosak a lineáris differenciálegyenletek és rekurrens sorozatok megoldásában, mivel a mátrix hatványai közvetlenül kapcsolódnak a polinom értékéhez. Például, ha *C* a segédmátrix, akkor *C^k* hatványának első eleme a polinom *p(x)* értékének megfelelő rekurrens sorozat *k*-edik eleme.

A segédmátrix fogalma széles körben alkalmazható a numerikus analízisben és a számítógépes algebra területén, például a polinomok gyökkeresésének algoritmusaiban, mint például a Faddejev–Leverrier algoritmusban.