sarjaanalyysiin

Sarjaanalyysi on matematiikan ala, jossa tutkitaan sarjojen – lukujoukkoina esitettyjen jäsien peräkkäisten summien – ominaisuuksia. Sarja on jäsien a1, a2, … ja sen summa määritellään limiitin avulla: osittaissumma S_N = a1 + a2 + … + aN. Sarja on konvergoitunut, jos S_N lähenee pistettä S, jolloin S = lim_{N→∞} S_N. Jos limiitti ei ole olemassa, puhutaan divergoitumisesta.

Konvergenssia ja konvergenssilujuutta tutkitaan monin tavoin. Yleisimmät testit ovat käänteisluku- (ratio) testi, juurtilastollinen (root) testi, sekä vertailutestit kuten suora vertailu ja raja-arvojen avulla tehtävä vertailu. Absoluuttinen konvergenssi tarkoittaa, että sarja sum |a_n| konvergoituu, mikä usein antaa paremman hallinnan sarjalle ja mahdollistaa sarjan uudelleenjärjestelyn ilman summan muuttumista. Ehdollinen konvergenssi esiintyy, kun sarja sum a_n konvergoituu, mutta sum |a_n| divergoituu.

Esimerkeissä hyvin tunnettuja ovat geometrinen sarja sum r^n (kun |r|<1, summa on 1/(1−r)), p-sarja sum 1/n^p (konvergoi, kun p>1), sekä harmoninen sarja sum 1/n (divergoi). Altnernatopeiset sarjat kuten sum (-1)^{n+1}/n voivat konvergoitua ehtolausein. Voimasarjat sum c_n x^n ovat tärkeitä erityisesti funktioiden lähellä x0. Niitä käytetään Taylor- ja Maclaurin-sarjoissa; Fourier- ja muut sarjasarjat ovat keskeisiä signaalin ja funktion analyysissä.

Divergenttien sarjojen summauksessa käytetään toisinaan erityisiä menetelmiä, kuten Cesàro- tai Abel-summauksia. Nämä eivät anna perinteistä summaa kaikille sarjoille, mutta voivat tarjota käyttökelpoisia tuloksia tietyissä sovelluksissa.