Abelsummauksia

Abelsummaukset, eli Abelin summaukset tai osittaisummennus, ovat analyysissä käytettyjä summauksen tekniikoita. Ne yhdistävät kahden sarjan termit käyttämällä a_n:n osittaissummaa A(n) = sum_{k=1}^n a_k. Keskeinen identiteetti on seuraava: olkoon N ≥ 1 ja A(n) määritelty näin. Tällöin

sum_{n=1}^N a_n b_n = A(N) b_N + sum_{n=1}^{N-1} A(n) (b_n - b_{n+1}).

Jos b_n on monotoninen tai sen vaihteluväli on rajallinen, tällä tavoin voidaan usein saada arvokkaita estimaatteja tai muuntaa sarja hallittavammaksi.

Abelsummauksesta on olemassa myös jatkuva versio, joka vastaa osittaisintegraatiota: summa a_n b_n voidaan tulkita osittaisin eri tavoin kokonaisfunktioiden avulla. Näin menetellään usein, kun b_n vaihtelee kuin jatkuva painokerroin.

Sovelluksia on luvun teorian sarjoissa ja Dirichlet-sarjoissa sekä muissa tilanteissa, joissa halutaan yhdistää a_n:n osittaissummia ja painokertoimia b_n. Abelin summauksia käytetään konvergenssin arvioinnissa, sarjojen muuntamisessa ja asymptoottisten käyttäytymisten tutkimisessa, kun painokertoimien vaihtelu on helpommin hallittavissa kuin alkuperäisten termien käyttäytyminen.

Niels Henrik Abelin mukaan nimetty tekniikka kehittyi 1800-luvulla, ja siitä on tullut keskeinen työkalu analyyttisessä luvussa sekä tieteellisessä sarjojen tutkimuksessa.