sannsynlighetsmassefunksjoner

En sannsynlighetsmassefunksjon, ofte kalt PMF, beskriver fordelingen til en diskret tilfeldig variabel ved å tildele sannsynligheter til hver av de mulige verdiene. Hvis X er en diskret variabel med sett av mulige verdier S = {x1, x2, ...}, så er p_X(x) = P(X = x). For verdier utenfor S er p_X(x) = 0. Summen av p_X over alle mulige verdier er lik 1.

Egenskaper: p_X(x) ≥ 0 for alle x, og ∑_{x∈S} p_X(x) = 1. Den forventede verdien er E[X] = ∑ x p_X(x) (hvis summen konvergerer), og variansen er Var(X) = E[X^2] − (E[X])^2. PMF-en bestemmer hele fordelingen; kun gjennom p_X gies hele sannsynlighetsstrukturen til X. Den kumulative fordelingsfunksjonen F_X(x) = P(X ≤ x) kan kobles til PMF-en ved at F_X(x) = ∑_{t ≤ x} p_X(t).

Eksempler: Bernoulli(p) med P(X=1)=p og P(X=0)=1−p. Binomial(n,p) med P(X=k) = C(n,k) p^k (1−p)^{n−k} for k = 0,...,n. Poisson(λ) med P(X=k) = e^{−λ} λ^k / k!, for k = 0,1,2,...

Bruk og betydning: PMF er sentral i modellering av antall hendelser eller telledata i en diskret verden. Den gir grunnlaget for å beregne forventning, varians og andre øyeblikk, samt å koble til andre uttrykk som sannsynlighetsgenererende funksjoner og tester av hypoteser i statistikk.