sannolikhetstätheter

Sannolikhetstätheter, eller sannolikhetstäthetsfunktionen, används inom sannolikhetsteorin för att beskriva hur en kontinuerlig slumpvariabels sannolikhet är fördelad över värdena den kan anta. Om X har en täthet f uppfyller f(x) ≥ 0 för alla x och integralen ∫_{-∞}^{∞} f(x) dx = 1. För varje intervall a < b gäller P(a < X ≤ b) = ∫_{a}^{b} f(x) dx. Tätheten är med avseende på Lebesgue-måttet; i diskreta fall används i stället en sannolikhetsmassfunktion.

Kopplingen till kumulativ fördelningsfunktion är att F(x) = P(X ≤ x) = ∫_{-∞}^{x} f(t) dt. F är vanligtvis differentiell där den är kontinuerlig och f är då derivatan till F.

Exempel på tätheter: uniform fördelning på [0,1] har f(x) = 1 för 0 ≤ x ≤ 1 och f(x) = 0 annars. Standardnormalens täthet är f(x) = (1/√(2π)) e^{-x^2/2}. Exponentialfördelningen har tätheten f(x) = λ e^{-λ x} för x ≥ 0; annars är den 0.

Flera variabler: en gemensam täthet f_X(x1,...,xd) med ∫ f_X(x) dx = 1 över hela R^d. Marginal- och villkorliga tätheter erhålls genom integration respektive conditionering; om variablerna är oberoende är den gemensamma tätheten produkten av marginaltätheterna.

Noter: vissa fördelningar saknar täthet med avseende på Lebesgue-måttet, till exempel enbart punktmassor eller blandade fördelningar. Tätheter används ofta i teoretiska studier och i praktiska uppskattningar som kernel-täthetestimation (KDE).