rotationssymmetriegruppe

Die Rotationssymmetriegruppe eines geometrischen Objekts ist die Menge aller Rotationen des dreidimensionalen Raums, die das Objekt auf sich selbst abbilden. Unter der Komposition bildet sie eine Gruppe. Im Allgemeinen handelt es sich um eine Untergruppe der Gruppe der Orientierung erhaltenden Isometrien, also von SO(3); bei zweidimensionalen Objekten ist sie eine Untergruppe von SO(2). Die Gruppe kann endlich oder unendlich groß sein, je nachdem, ob das Objekt nur endliche oder unendliche Rotationen als Symmetrie besitzt.

Im 2D-Fall besitzt ein regelmäßiges n-Eck Rotationen um Vielfache von 2π/n; die Rotationssymmetriegruppe ist dann isomorph zu C_n (zyklische Gruppe). Die vollständige Symmetriegruppe, die auch Spiegelungen berücksichtigt, ist D_n.

Im 3D-Bereich regeln Rotationen auch die Symmetrie der platonischen Körper. Die Rotationssymmetriegruppe des Tetraeders ist isomorph zu A4 (Ordnung 12). Die Rotationengruppe des Würfels bzw. Oktaeders ist isomorph zu S4 (Ordnung 24). Die Rotationengruppe des Dodekaeders bzw. Ikosaeders ist isomorph zu A5 (Ordnung 60). Die vollständigen Symmetriegruppen dieser Körper, die Spiegelungen einschließen, heißen Td, Oh bzw. I_h und haben die Ordnungen 24, 48 bzw. 120.

Rotationssymmetriegruppen finden vielfältige Anwendungen in Geometrie, Kristallographie und Molekülchemie, wo sie zur Klassifikation von Symmetrien verwendet werden. Sie dienen zudem als zentrale Beispiele in der Gruppentheorie, insbesondere als endliche Untergruppen von SO(3).