risteyskohdat

Risteyskohdat ovat pisteitä, joissa kaksi tai useampi käyrä, viiva tai pinta leikkaavat toisensa. Ne esiintyvät tavallisesti kahdenulottuvien käyrien tai pintojen yhteydessä, mutta sama käsite pätee myös korkeampiin ulottuvuuksiin. Risteyskohdat määritellään matematiikassa sellaisiksi pisteiksi, joissa kaikki mukana olevien kappaleiden yhtälöt ovat yhtä aikaa voimassa.

Kun käyrät esitetään funktioina y = f(x) ja y = g(x), risteyskohdat löytyvät ratkaisemalla f(x) = g(x). Jokaiselle ratkaisulle x saadaan vastaava y-arvo y = f(x) tai y = g(x). Yleisiä menetelmiä ovat substituutio ja eliminointi, sekä polynomiyhtälöiden faktorisointi. Jos ratkaisut ovat epälineaarisia tai lausekkeet epäjatkuvia, risteyskohdat voidaan löytää numeerisesti esimerkiksi Newtonin menetelmällä tai muiden iteratiivisten menetelmien avulla. Risteyskohdalla voi olla kertolasku eli moninkertaisuus, jolloin käyrät koskettavat toisiaan.

Esimerkki: y = x^2 ja y = 2x + 3. Yhtälöiden yhtälö saadaan x^2 = 2x + 3, jolloin x = 3 tai x = -1. Näille arvoille vastaavat koordinaatit ovat (3, 9) ja (-1, -2).

Ominaisuudet ja sovellukset: risteyskohdista voidaan päätellä kahden käyrän suhteellinen asema ja etäisyydet. Lineaarien käyrien tapauksessa risteyksiä voi olla 0, 1 tai ääretön (kosketus tai sama viiva). Ainakin peruslausekkeet osoittavat, että risteyskohdat ovat keskeisiä geometrian, suunnittelun, tietokonegrafiikan, robotiikan ja kartoituksen sovelluksissa, esimerkiksi törmäysten tarkistuksessa ja massa- sekä optimointiongelmissa.