relációkra

A relációk a matematikában két halmaz elemei közötti viszonyokat írják le. Egy reláció R adott halmaz A és B között egy részhalmaz, azaz R ⊆ A × B. Ha A = B, bináris relációról beszélünk, és R egy eleve adott halmazon értelmezett viszony.

Jelöléstan és példák szerint a relációk lehetnek különböző típusúak és tulajdonságúak. Reflexív legyen R, akkor minden a ∈ A esetén (a,a) ∈ R. Szimmetrikus, ha (a,b) ∈ R, akkor (b,a) is benne van. Tranzitív, ha (a,b) ∈ R és (b,c) ∈ R akkor (a,c) ∈ R. Antiszimmetrikus, ha (a,b) ∈ R és (b,a) ∈ R mindig a = b. Ekvivalens reláció olyan, amely reflexív, szimmetrikus és tranzitív. Részleges rend (részrend) pedig reflexív, antiszimmetrikus és tranzitív, míg egy lineáris (teljes) rend további feltételként minden elemet összehasonlíthatóvá tesz.

Példák: a ⊆ b a halmazok közötti részleges rend; a | b természetes számok osztási relációja; a ≡ b mod n kongruencia relációja; a ≤ reláció valós számok között, amely részleges vagy teljes rend lehet. Ezek a példák különböző tulajdonságokkal mutatják be, hogyan rendezhetők vagy kapcsolhatók ki egymás mellé értelmezett elemek.

Működés és ábrázolás: relációk összehasonlíthatók összetétellel R ∘ S és invers R−1, és gyakran ábrázolhatóak grafikonokkal, ahol a csúcsok halmaz elemei, a származtatott viszonyokat pedig élek jelzik.

Alkalmazások: a relációk alapfogalom a matematika mellett logikában, számítástechnikában és adatbázisok területén is, például relációs modellekben táblák összefüggéseinek formalizálására és lekérdezések megfogalmazására.