reaalilinjalle

Reaalilinja (ℝ) on kaikkien todellisten lukujen joukko. Siihen liitetään tavanomainen etäisyys d(x,y)=|x−y| sekä järjestys x<y, joiden avulla ℝ muodostaa sekä metrisen tilan että lineaarisen topologian. Topologisesti ℝ saa standardin lineaarin topologian, jonka perusavoimina ovat avoimet intervallit (a,b) (a<b). Metrisesti ℝ on täydellinen ja erottuva tila, ja siellä on tiheä joukko, kuten rationaaliset luvut Q, jotka ovat tiheä ℝ:ssa. ℝ on myös separable, polku-yhteinen ja yksinkertaisesti yhdistetty (path-connected ja simply connected). Se on yksiulotteinen, sekä järjestyssääntöjen että mittakaavan kannalta keskeinen esimerkki.

Käytännössä reaalilinjalle viitataan usein kuvaamaan funktioiden kohdetilaa. Kun funktio f on määritelty X:stä ℝ:iin, puhutaan reaaliarvovasta funktiosta eli f(x) on todellinen luku. Tällaisia funktioita kutsutaan reaaliarvovaihtoehdoiksi, ja niiden graafi kuvaa käyrän pistejoukon graafissa {(x, f(x))} ⊂ X×ℝ. Reaalilinja toimii keskeisenä kohde- ja kuvankäsittelytilana analyyttisessä matematiikassa sekä sovelluksissa, kuten mittauksissa, todennäköisyyslaskennassa ja mallinnuksessa.

Lisätietoja: ℝ, reaalilinja, reaaliarvot, reaaliarvofunktio, topologia ja mittausteoria.