részhalmazokra

Részhalmazokra a halmazelmélet egyik alapfogalma, amely a két halmaz közötti hozzákapcsolódást írja le. Ha A és B halmazok, akkor A ⊆ B jelölés azt mondja ki, hogy minden A-beli elem B-ben is található. Ha ezen kívül A ≠ B is fennáll, akkor A-t B-nek szigorúan vagy valódi részhalmazának (A ⊂ B) nevezzük.

Például legyen A = {1, 2} és B = {1, 2, 3}. A ⊆ B, mert minden A elemet tartalmaz B is, és A ≠ B, ezért A ⊂ B. Ezzel szemben B ⊆ A nem áll, mert 3 ∈ B, de nem tartalmazható A-ban.

A részhalmazviszony reflexív, antiszimmetrikus és tranzitív, tehát a részhalmaz-hood egy részleges rendezést ad a halmazok halmazán. Minden halmazhoz tartozik a saját maga részhalmaza (A ⊆ A), és a nullahalmaz (∅) minden halmaznak részhalmaza. Ha A ⊆ B, és B ⊆ C, akkor A ⊆ C.

A részhalmazokra vonatkozó fontos fogalom a hatványhalmaz vagy power set P(S), amely S összes alhalmazát tartalmazza. Ha S véges, akkor |P(S)| = 2^|S|.

Gyakorlati szemléletben a részhalmazfogalom segít egyezmények, függvények képezésekor, összehasonlításkor és halmazműveletek (unió, közös rész, különbség) értelmezésében. Az üres halmaz és a teljes univerzum viszonyai kiemelten jellemzőek a téma alakulására.