pöörlemisrühmi

Pöörlemisrühmid on matemaatilised rühmed, mille liikmed on pöörlemised ehk ruumi pöörlemised. Rühmaoperatsioon on kahe pöörlemise järjekindel rakendamine ehk nende koostamine; tulemuseks jääb alati pöörlemine. Pöörlemisrühmid kirjeldavad ruumi või keha pöördeid ning nende sümmeetriat.

3D kontekstis on SO(3) kõigi orientatsiooni säilitavate pöördede rühm. Iga pöörlemine on esitatav 3×3 ortogonaalse maatriksina, mille determinant on +1. Rühma liikmete ühendamine vastab maatriksite korrutamisele; pöörlemise pöörd on maatriksi pöörd. SO(3) on kompaktne Lie-rühm ning selle struktuur on oluline füüsikas ja arvutites.

Alamrühmade poolest on olulised nii pidevad kui lõplikud alamhulgad. Näiteks SO(2) on ühe telje ümber toimuvate pöörlemiste rühm ja on isomorfne ringiga S^1. Lõplikud alamrühmad SO(3) sees on seotud regulaarsete polühedrite sümmetriatega ning hõlmavad dihedraal- ja muud tüüpi lõplikke rühmi. Üldisemalt võib pöörlemisrühmi käsitleda ka kõrgemates ruumides, kus SO(n) kirjeldab kõigi ruumi orientatsiooni säilitavate pöördete rühma ning selle dimentsioon on n(n−1)/2. Liikmete lõplikkust ning omadusi uuritakse tavaliselt Lie-teoorias ja representationaalteoorias.

Kasutusalad ja esiletõstud: arvutigraafikas ja gráfiikas on rotatsioonide kirjeldamine keskne; robotiök kartograafias ja roboti kontrollis on oluline orientatsiooni juhtimine; kriistallograafia ja kvantmehaanika kasutavad pöörlemisrühmi sümmetria ja taasesituste mõistmiseks. Põhilised esindajad on Euler'i nurgad ja telg-nurk formalismid, quaterniionid annavad SO(3) jaoks kompaktse ja virmutustevaba esitusviisi, ning SU(2) on SO(3) topeltkate.