prøvemiddelverdien

Prøvemiddelverdien, ofte referert til som prøve middelverdi eller X̄, er gjennomsnittet av verdiene i en utvalgt prøve. For en prøve med observasjoner X1, X2, ..., Xn er X̄ = (1/n) ∑ Xi. Den tilhørende befolkningens gjennomsnitt μ er det forventede verdien E[X]. I praksis brukes X̄ som en estimator for μ.

Egenskaper og statistisk fordeling: Under antakelsen om uavhengige og identisk fordelte observasjoner (iid) med endelig forventning og varians, er X̄ en upartisk estimator for μ, det vil si E[X̄] = μ. Var(X̄) = Var(Xi)/n = σ²/n, hvis variansen σ² til Xi er kjent og prøven er stor nok til å anta normalitet. Ved prøvetaking fra en endelig populasjon uten tilbakelegging gir Var(X̄) = (1 − n/N) σ² / n, hvor N er populasjonens størrelse. Estimering av σ² gjøres ofte med s² = (1/(n−1)) ∑ (Xi − X̄)².

Normalitet og intervaller: Ifølge sentralgrenseteoremet blir X̄ tilnærmet normal for moderate til store n, med forventning μ og standardfeil σ/√n. I praksis brukes s/√n som standardfeil når σ ikke er kjent. Dette muliggjør konfidensintervaller og hypotesetesting om middelverdien.

Bruk og begrensninger: X̄ er den mest brukte punktestimatoren for μ og ligger til grunn for mange statistiske metoder. Den er enkel og effektiv under iid-forhold, men er følsom for uteliggere og avviker dårlig ved skjevhet eller ekstreme verdier; i slike tilfeller kan robuste estimatorsMetaler være mer hensiktsmessige.