projeksiyonlar

Projeksiyonlar, bir kümeyi veya vektör uzayını içinde bulunduğu bir alt uzaya ya da başka bir altyüzeye izdüşüren dönüşümlerdir. Matematikte bir V vektör uzayında P: V → V bir projeksiyondur; P^2 = P özelliğini sağlar. Böyle bir dönüşümün görüntüsü range(P) alt uzayıdır; çekirdek ise kernel(P) olarak adlandırılır. V sonlu boyutlu ise V = range(P) ⊕ ker(P) gibi doğrudan toplamlar kurabilir; bu, P'nin projeksiyon olduğunu ve V'nin bu ikili alt uzayla ayrışabildiğini gösterir.

Doğrusal (lineer) projeksiyonlar idempotent ve genellikle P^2 = P ile tanımlanır. Ortogonal projeksiyonlar, inner product alanında P = P (öz-örtüşümlü) olur ve range(P) ile ker(P) birbirinin tamamlayıcısını oluşturur; bu durumda her v için v = w + u olarak yazılabilir, w ∈ range(P), u ∈ ker(P). Örneğin açıkça V, W = range(P) ve K = ker(P) ile ayrışır ve P, v kompozisyonunda yalnızca w'yi üretir.

Geometrik projeksiyonlar, Euclidean alanında merkezi projeksiyon ve paralel projeksiyon olarak iki ana türü kapsar. Merkezi projeksiyon, bir merkez C'den düzleme Π yayılan doğrular üzerinden yapılır ve her noktanın görüntüsü bu doğruların düzlemle kesişimidir (perspektif). Paralel projeksiyon ise projeksiyonu yön boyunca düzleme yapar; uzak noktalar sonsuza gider ve paralel çizgiler görüntüde de paralel kalır. Geometrik projeksiyonlar, gözlemsel ve görsel uygulamalarda kullanılır; harita projeksiyonları ve bilgisayar grafiğinde görüldüğü gibi.

Uygulamalar arasında veri bilimi ve bilgisayar grafiği sayılabilir: verilerin yüksek boyuttan alt boyuta projeksiyonları PCA gibi yöntemlerle yapılır; ayrıca görünüm simülasyonunda perspektif projeksiyon kullanılır. Projeksiyonlar, lineer cebirde temel operasyonlar olarak alt uzayların incelenmesini ve fonksiyonların sadeleştirilmesini sağlar.