posteriorijakaumana

Posteriorijakaumana on tilastollisen Bayesin inferenssin keskeinen käsite, joka kuvaa epävarmuuden jakaumaa tietyn parametrin arvolle havainnoinnin jälkeen. Se kertoo, millainen on uskomus parametrin todellisesta arvosta, kun data on otettu huomioon.

Bayesin teoreeman mukaan posteriorijakauma saadaan yhdistämällä priorijakauma eli alun perin oma epävarmuus parametrista ja todennäköisyysfunktio eli havaittujen data-yksiköiden mallinnus annetulla parameterilla. Jos D merkitsee havaintoja ja θ parametria, posteriori on p(θ|D) = [p(D|θ) p(θ)] / p(D), jossa p(D) on marginalisoitu todennäköisyys eli p(D) = ∫ p(D|θ) p(θ) dθ. Posteriori antaa päivitetyyn epävarmuuteen liittyvää informaatiota tieteellisen datan valossa.

Yleisesti posteriorijakauma määrittää mahdollisuudet eri parametriarvoille, sekä toiminnan jatkuesta että päätöksenteosta. Yleisiä erityisiä tapauksia ovat konjugoituvat mallit, joissa posteriori on samaa jakaumaa kuin priori, mikä helpottaa laskutoimituksia. Esimerkkejä: normaalijakauman keskiarvon priorin kanssa, jolloin posteriori on normaalijakauma; binomiaalisen havainnon kanssa beta-priorin yhteydessä.

Laskenta voidaan tehdä analyyttisesti konjugoituvissa malleissa tai numerisesti käyttämällä Markov-ketjupohjaista näytteenottoa (MCMC) tai variatiivista päättelyä. Posteriorijakaumasta voidaan edelleen muodostaa posteriorinnittämä ennuste tulevista havainnoista (posterior predictive distribution) p(D_new|D) = ∫ p(D_new|θ) p(θ|D) dθ.