polynomiyhtälöille

Polynomiyhtälö on matematiikassa käytetty termi, joka tarkoittaa yhtälöä, jossa tuntemattomana esiintyy polynomi ja jonka ratkaisut ovat ne arvot, joille polynomi saa arvon nolla. Yleinen muoto yhdelle muuttujalle on a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + ... + a_1 x + a_0 = 0, jossa a_n ≠ 0. Polynomiyhtälöt voivat olla yksinkertaisia tai korkeasti monimutkaisia, ja niiden ratkaisut riippuvat polynomin asteesta sekä kertoimien ominaisuuksista.

Jokaiselle polynomille pätee Fundamental Theorem of Algebra: polynomi, jonka aste on n, on ratkaistavissa kompleksilukujen joukosta ja sillä on yhteensä n juurta (laskettuna kertoluvut mukaan). Kun kertoimet ovat reaalisia, ratkaisut voivat olla sekä reaalisia että kompleksisia, ja jälkimmäiset muodostavat konjugaatteja pareja. Juuret voivat olla monikertoja, ja niiden sijainti määräytyy polynomin rakenteen mukaan.

Ratkaisumenetelmät riippuvat asteesta. Yleisiä keinoja ovat tekijöihin jakaminen, tekijänopein menetelmä ja rationaalisten juurien etsiminen (rationaalinen juurilause), jonka jälkeen polynomi pienennetään ja ratkaistaan uudelleen. Toisen asteen polynomit ratkaistaan standardikaavalla; korkeampien asteiden tapauksissa käytetään erikoiskaavoja tai numeerisia menetelmiä kuten Newtonin menetelmää. Vieta-lauseet yhdistävät juuret ja kertoimet: juurten summa ja tulo ovat pääteltävissä polynomin kertoimista. Polynomiyhtälöt ovat keskeisiä monilla aloilla, kuten fysiikassa, tekniikassa ja taloustieteessä, mallintamiseen, analysointiin ja suunnitteluun.