piirväärtusele

Piirväärtus (piirväärtuslikul kujul: limit) on matemaatikas väärtus, millele jada või funktsioon läheneb, kui sõltuv muutuja läheneb teatud punktile või lõpmatusele. Piirväärtust kasutatakse pidevuse, tuletise ja integraali teoorias ning see on aluspalikates definitsioonides.

Jada puhul defineeritakse piirväärtus nii: kui a_n on jada ja L on tegelik väärtus, nimetatakse L-i jada piirväärtuseks, kui iga ε>0 korral on olemas N, et kõik n≥N puhul on |a_n - L| < ε. See tähendab, et järjestus muutub L-ile väga lähedaseks jadaselgelt suuremate indeksite korral. Funktsiooni puhul kirjutatakse lim_{x→a} f(x) = L ja see tähendab, et iga ε>0 jaoks leidub δ>0, nii et 0<|x-a|<δ korral on |f(x)-L|<ε.

Kui piirväärtus on lõpmatu või ei eksiste, eristatakse lõpmatust või mitteolemist: lim_{x→a} f(x) = ∞ või lim_{x→a} f(x) ei ole olemas. Üksikküljelised piirväärtused lim_{x→a+} ja lim_{x→a−} võivad erineda; vajadusel loetakse mõlema poole piire eraldi.

Piirväärtused jagavad omadusi: lim(a_n ± b_n) = L ± M, lim(c a_n) = cL, lim(a_n b_n) = LM (kui mõlemad piirväärtused eksisteerivad), ning erinevad piirväärtuste teooriad annavad korrigeeritud käitumise võrrandite ja funktsioonide puhul.

Näited: lim_{n→∞} 1/n = 0; lim_{x→0} (sin x)/x = 1; lim_{x→∞} (1+1/x)^x = e. Piirväärtused on põhialuslikud kontseptsioonid hajuvust ja pidevust käsitlevas matemaatikas.