permutaatioryhmää

Permutaatioryhmä on matemaattinen käsite, joka liittyy joukon alkioiden järjestyksen muuttamiseen. Yksinkertaisimmillaan permutaatio tarkoittaa tapaa järjestää joukon alkiot uudelleen. Permutaatioryhmä puolestaan on kokoelma kaikkia mahdollisia permutaatioita annetulle joukolle, jotka täyttävät ryhmäteorian ehdot. Nämä ehdot ovat sulkeutuneisuus, assosiatiivisuus, identiteettialkion olemassaolo ja käänteisalkioiden olemassaolo. Permutaatioryhmät ovat tärkeitä useilla matematiikan ja tietojenkäsittelyn aloilla, kuten abstraktissa algebrassa, kombinatoriikassa ja kryptografiassa.

Yleisin permutaatioryhmä on symmetrinen ryhmä S_n, joka koostuu kaikkien n alkion joukon permutaatioiden joukosta. S_n:n koko on n kertoma (n!). Esimerkiksi S_3 koostuu kaikkien kolmen alkion joukon permutaatioista. Näitä permutaatioita voidaan esittää syklisessä muodossa tai kahden rivin merkinnällä. Permutaatioryhmiä voidaan tarkastella myös graafiteorian avulla, jossa solmut edustavat alkioita ja kaaret permutaation mukanaan tuomia siirtymiä. Permutaatioryhmien tutkimus auttaa ymmärtämään symmetriaa ja rakenteita erilaisissa matemaattisissa objekteissa.