Permutaatioryhmiä

Permutaatioryhmiä ovat ryhmiä, jotka koostuvat joukon permutaatioista. Permutaatio on bijektiivinen kuvaus joukolta itselleen. Permutaatioryhmän operaatio on kuvausten yhdistäminen. Ryhmän identiteisalkio on identiteettikuvaus, joka jättää kaikki alkiot paikoilleen. Ryhmän käänteisalkio on permutaation käänteiskuvaus. Permutaatioryhmät ovat keskeisiä ryhmäteoriassa ja niitä esiintyy monilla matematiikan aloilla. Esimerkiksi symmetrinen ryhmä S_n on kaikkien n alkion joukon permutaatioiden muodostama ryhmä.

Permutaatioryhmät voidaan esittää permutaatiomatriiseilla, jotka ovat neliömäisiä matriiseja, joissa jokaisella rivillä ja sarakkeella on täsmälleen yksi ykkönen ja muut alkiot ovat nollia. Kuvausten yhdistäminen vastaa matriisikertolaskua. Permutaatioryhmien rakennetta voidaan tutkia niiden esitysten avulla, kuten sykliesityksellä, joka jakaa permutaation disjointteihin sykleihin. Permutaatioryhmien tutkimus on olennaista esimerkiksi kombinatoriikassa, algebrassa ja kryptografiassa.