partisjonfunksjon

Partisjonfunksjonen p(n) teller antallet måter å uttrykke heltallet n som en sum av positive heltall uten å ta hensyn til rekkefølgen. For eksempel er p(4) = 5, siden 4, 3+1, 2+2, 2+1+1 og 1+1+1+1 alle partitjoner av 4. Den skiller seg dermed fra komposisjoner, der rekkefølgen av leddene teller.

Genererende funksjon og tilknytning til eta-funksjonen. Den partisjonelle genererende funksjonen er sum_{n≥0} p(n) q^n = ∏_{m≥1} 1/(1 - q^m). Denne tidsubaserte produktformen viser hvordan alle partitjoner bygges opp av koblede deler. Metaforisk kan den også relateres til Dedekind eta-funksjonen η(τ) via η(τ) = q^{1/24} ∏_{m≥1} (1 - q^m) med q = e^{2πiτ}, og dermed er sum_{n≥0} p(n) q^n = 1/∏_{m≥1} (1 - q^m).

Recurranse og vekst. Partisjonfunksjonen oppfyller en rekursjon basert på generaliserte femtallsnumre g_k = k(3k-1)/2. For n ≥ 1 gjelder p(n) = p(n-1) + p(n-2) - p(n-5) - p(n-7) + p(n-12) + p(n-15) - ..., der p(m) = 0 for m < 0 og p(0) = 1. Dette gir, blant annet, verdiene p(1)=1, p(2)=2, p(3)=3, p(4)=5, p(5)=7 og så videre. Partisjonfunksjonen vokser svært raskt.

Anevisninger og egenskaper. Hardy–Ramanujan-satsen gir en asymptotisk form: p(n) ~ exp(π√(2n/3)) / (4n√3) for store n. Rademachers eksakte konvergerende serie gir en forfinet formel. Ramanujan oppdaget også bemerkelsesverdige kongruenser som p(5n+4) ≡ 0 (mod 5), p(7n+5) ≡ 0 (mod 7) og p(11n+6) ≡ 0 (mod 11), noe som knytter partisjoner til modularformer og tallteori.