parametriseringer

Parametriseringer er måter å beskrive en geometrisk gjenstand ved hjelp av ett eller flere parametre. En parameterisering er en kartlegging fra et parameterområde til gjenstanden, og brukes til å beskrive kurver og flater gjennom koordinatfunksjoner. For en kurve i planet kan man skrive r(t) = (x(t), y(t)) med t i et intervall. For en flate i rommet kan man bruke r(u,v) = (x(u,v), y(u,v), z(u,v)) med (u,v) i et område i planen. Slike uttrykk gjør det mulig å beregne lengder, arealer og integraler ved hjelp av avledede koordinater og Jacobian.

Regularitet: en parametrisering er vanligvis regulær, dvs. r_u og r_v (for flater) er ikke begge null; for kurver er r'(t) ikke null. Lengdeparameterisering er en spesialisert type hvor hastigheten langs kurven er konstant, dvs. ||r'(t)|| = 1. Dette er nyttig når man vil beskrive bevegelse langs kurven med enhetlig hastighet.

Omparameterisering betyr at man endrer parameter t til en ny parameter s = φ(t) som er monotont og glatt; den geometriske gjenstanden forblir den samme, mens hvordan den er opphengt i parameterrommet endres.

Eksempel: enhetssirkelen kan parametriseres som (cos t, sin t) eller (cos s, sin s). Eksempel på flate: en kule krever vanligvis flere kart (atlas) i stedet for en global parametrisering fra R^2 til hele overflaten, på grunn av topologiske begrensninger.

Anvendelser inkluderer beregning av lengder, arealer og volumer, samt teksturering av overflater i computer grafikk gjennom UV-parametrisering.