osittaisjakeet

Osittaisjakeet ovat matematiikan menetelmä, jolla rationaalinen funktio voidaan esittää summausmuodossa, jossa kukin osa on helpompi käsitellä. Tavoitteena on muuttaa P(x)/Q(x) useampaan pienempään murtolukuun, jotta voi esimerkiksi integroida tai ratkaistaDifferentiaalilausekkeita helpommin.

Menetelmän perusidea on, että Q(x) factorisoidaan tekijöihin riittävän tarkasti. Mikäli deg(P) on suurempi tai yhtä suuri kuin deg(Q), ensin tehdään polynomijako ja siirrytään lopulta puhtaaseen osajako-muotoon. Tekijöistä ja niiden kertalukuarvosta riippuen osamurtoluvuissa on erilaisia muotoja: jos tekijä on lineaarinen ja toistumaton (x−a), sen osa on A/(x−a). Jos tekijä on lineaarinen ja toistuva (x−a)^k, mukana on A1/(x−a) + A2/(x−a)^2 + ... + Ak/(x−a)^k. Jos tekijä on irreducible kirjoituksessa toisen asteen polynomi, q(x) = ax^2+bx+c, sen osa on (Cx+D)/q(x). Yhteensä kaikille tekijöille kerrotaan sopivat konstanit, ja yksi voi ratkaista ne muuttujat asettamalla yhtälö P(x)/Q(x) = summasi osista ja vertaamalla polynomien kertoimia.

Esimerkkitapauksessa (3x+5)/(x^2−1) voidaan esittää muodossa A/(x−1) + B/(x+1). Ratkaisemalla A ja B saadaan A=4 ja B=−1, joten funktio kirjoitetaan muodossa 4/(x−1) − 1/(x+1). Käytössä osittaisjakeita ovat jatkuva menetelmä integraaleihin ja differentiaalienratkaisuihin.

Osittaisjakeet ovat erityisen hyödyllisiä tilanteissa, joissa halutaan integroida rationaalisia funktioita tai analysoida järjestelmiä, joissa vasteet voidaan kuvata murtolukumuotoisina.