ortogonaalisiin

Ortogonaalisuus, tai ortogonaaliset suhteet, on käsite matematiikassa, jossa tutkittavat vektorit, funktiot tai alijoukot ovat erillisiä toisistaan. Kahden vektorin tapauksessa ne ovat ortogonaalisia, kun niiden pistetulo on nolla, mikä merkitsee, että niiden välinen kulma on 90 astetta.

Vektorijoukosta puhuttaessa, jos kaikilla eri vektoreilla on pistetulo nolla toisiaan vastaan, ne ovat mutually orthogonal. Kun kutakin vektoria vastaa yksikköpituus (normaali), joukko on ortonormaali ja muodostaa kannan, jonka matriisi vastaa identiteettiä sisäisessä tilassa. Ortogonaalisuus liittyy olennaisesti sisäkkäin määriteltyyn sisäkkötilaan tai Euklidiseen tilaan.

Ortogonaalimatriisi (tai ortogonaalinen matriisi) on neliömatriisi M, jolla M^T M = I. Tällaiset matriisit säilyttävät pistetulon ja pituudet pultumisessa, mikä tekee niistä erityisen tärkeitä kääntö- ja muunnosoperaatioissa. Ortogonaaliset muunnokset pysyvät siis pituuksiltaan ja kulmiltaan muuttumattomina.

Gram–Schmidtin ortogonalisaatiomenetelmä antaa tavan muuntaa lineaarisesti riippumaton vektorisarja ortogonaaliseksi (ja usein ortonormaali) kannaksi. Tämä on keskeinen työväline lineaarialgebrassa ja tilastossa.

Ortogonaalisuus liittyy myös projektointiin: ortogonaalinen projekti ala- tai kertalajiin tuottaa vektorin, joka kuuluu kyseiseen subavaruuteen ja on alkuperäisen vektorin suurin mahdollinen osa tässä subtilassa. Tämä käsite on tärkeä least squares -menetelmissä, pääkomponenttianalyysissä ja signaalinkäsittelyssä sekä tietokonegrafiikassa, missä pyritään säilyttämään pituudet ja kulmat.

---