ortogonaaliryhmästä

Ortogonaaliryhmä on ryhmä matriiseja, joiden kertolasku käänteisluvulla on sama kuin niiden transpoosi. Matematiikassa ortogonaaliryhmä on erityinen matriisiryhmä, joka sisältää kaikki sellaiset n x n kokoiset matriisit, joiden determinantti on 1 tai -1. Toisin sanoen, ortogonaalinen matriisi on neliömatriisi A, jonka transpoosi Aᵀ on sen käänteismatriisi A⁻¹, eli AᵀA = AAᵀ = I, missä I on identiteettimatriisi.

Ortogonaaliryhmät ovat tärkeitä monilla matematiikan ja fysiikan aloilla. Geometrisesti ortogonaaliset matriisit edustavat isometrioita euklidisessa avaruudessa, jotka säilyttävät etäisyyden. Näitä ovat esimerkiksi rotaatiot ja peilaukset. Ortogonaaliryhmät ovat erityisen keskeisiä lineaarialgebrassa, geometriassa ja differentiaaligeometriassa.

Ortogonaaliryhmän yleinen merkintä on O(n), missä n viittaa matriisin kokoon eli ulottuvuuteen. Erityisesti O(n) sisältää kaikki kääntyvät matriisit, joiden käänteismatriisi on sama kuin niiden transpoosi. Tähän ryhmään kuuluvat myös ne matriisit, joiden determinantti on -1, eli peilaukset. Jos tarkastellaan vain niitä ortogonaalisia matriiseja, joiden determinantti on 1, puhutaan erikoisortogonaaliryhmästä, merkinnältään SO(n). Tämä ryhmä edustaa pelkästään rotaatioita avaruudessa. Erikoisortogonaaliryhmä SO(n) on aliryhmä ortogonaaliryhmälle O(n). Ortogonaaliryhmät ovat kompakteja ja niiden rakenne on hyvin tutkittu.