Ortogonaaliryhmät

Ortogonaaliryhmät ovat matemaattisia ryhmiä, jotka koostuvat kääntyvistä lineaarikuvauksista, jotka säilyttävät pistetulon. Toisin sanoen, ortogonaalikuvaus säilyttää etäisyydet ja kulmat euklidisessa avaruudessa. Ryhmäoperaatio tässä yhteydessä on kuvausten yhdistäminen. Ortogonaaliryhmän yleisin merkintä on O(n), missä n tarkoittaa avaruuden ulottuvuutta.

Ortogonaaliryhmän elementit ovat siis n x n -matriiseja, joille pätee, että niiden käänteismatriisi on sama kuin niiden transpoosi. Tämä voidaan ilmaista yhtälöllä $A^T A = I$, missä $A^T$ on matriisin A transpoosi ja I on identiteettimatriisi. Tämän ehdon täyttäviä matriiseja kutsutaan ortogonaalisiksi matriiseiksi. Ortogonaaliset matriisit kuvaavat geometrisesti rotaatioita ja peilauksia avaruudessa.

Erityistapaus on erikoisortogonaaliryhmä SO(n), joka koostuu niistä ortogonaalisista kuvauksista, joiden determinantti on +1. Nämä vastaavat puhtaita rotaatioita, eivätkä ne sisällä peilauksia. SO(2) esimerkiksi kuvaa rotaatioita kaksiulotteisessa tasossa, ja SO(3) kuvaa rotaatioita kolmiulotteisessa avaruudessa, mikä on erittäin tärkeää esimerkiksi fysiikassa ja insinööritieteissä. Ortogonaaliryhmien tutkimus on keskeistä lineaarialgebrassa, geometriassa ja fysiikassa, erityisesti kun käsitellään symmetrioita ja muunnoksia.