optimointiteoria

Optimointiteoria on matematiikan osa-alue, joka tutkii keinoja löytää parhain mahdollinen arvo tietyllä tavoitefunktiolla ottaen huomioon annetut rajoitteet. Ongelma määritellään päätösmuuttujilla x, tavoitefunktiolla f(x) sekä rajoitteista muodostetulla kelvollisella ratkaisualueella. Tavoitteena voi olla sekä maksimoida että minimoida f(x). Ratkaisun tulee olla sekä optimaalinen että kelvollinen eli täyttää rajoitteet.

Ongelman tyypit ja luokittelu vaihtelevat: rajoitettu vs rajoittamaton, lineaarinen ohjelmointi (LP), epälineaarinen ohjelmointi (NLP), sekä konveksinen vs epäkonveksinen optimointi. Lisäksi on jatkuvia muuttujia, diskreettejä muuttujia sekä sekamuuttujien ongelmia kuten integer-ohjelmointi.

Menetelmät jakautuvat analyyttisiin ja numeerisiin. Analyyttiset lähestymistavat käyttävät derivaattoja: Lagrangen menetelmä ja KKT-ehdot antavat optimaaliset ehdot rajoitetuille ongelmille. Dualiteetti tarjoaa toisen, usein helpommin ratkaistavan muodon. Numeeriset menetelmät sisältävät lineaarisen ohjelmoinnin simplex- ja interior-point -menetelmät sekä ei-lineaarisille ongelmille tarkoitetut gradientti- ja Newtonin menetelmät; suurissa ongelmissa käytetään myös heuristiikkaa ja metaheuristiikkoja.

Optimointiteoria yhdistää matemaattisen analyysin, algoritmit ja sovellukset. Se on keskeinen osa operaatioiden tutkimusta ja taloustiedettä sekä insinööri- ja tietojenkäsittelytieteitä.

Käytännön sovelluksia ovat logistiikka, tuotanto, resurssien kohdentaminen, rahoitus sekä koneoppimisen ja tilastotieteen optimointimenetelmien kehittäminen.