optimointialuetta

Optimointialue on optimointiongelman määrittelemä alue, jolla päätösmuuttujien arvot täyttävät annetut rajoitteet. Se tunnetaan myös kelvollisena ratkaisualueena tai sallitut arvot. Optimointialue määritellään usein matemaattisesti siten, että x ∈ R^n ja g_i(x) ≤ 0 sekä h_j(x) = 0 kaikille i ja j, jolloin näiden ehtojen täyttäviä pisteitä muodostaa kelvolliset ratkaisut.

Optimointialue vaikuttaa sekä siihen, millaisia ratkaisuja on mahdollista löytää, että siihen, miten ongelmaa ratkaistaan. Lineaarisessa ohjelmoinnissa optimointialue on konveksi polyedri, mikä usein helpottaa ratkaisun löytämistä. Ei-konveksit, epälinearisoidut alueet voivat sisältää useita paikallisia optima ja vaativat monimutkaisempia menetelmiä.

Optimointialueen tyyppejä ovat esimerkiksi jatkuva tai diskreetti, konveksi tai ei-konveksi sekä kiinteä tai epäjatkuva. Se muodostuu yleensä rajoitteiden geometrian kautta: lineaariset tai epäyhtälöt sekä mahdolliset ehtolausekkeet.

Käytettyjä ratkaisumenetelmiä ovat esimerkiksi gradienttien ja muiden paikallisten menetelmien soveltaminen säilyttäen kelvollisuus, projektiorakennusmenetelmät (projection), rangaistus- tai barrier-metodit sekä Lagrangen menetelmät, jotka käsittelevät rajoitteet osana tavoitefunktiota.

Esimerkki: Minimoidaan f(x, y) = (x − 1)^2 + (y − 2)^2, kun x ≥ 0, y ≥ 0 ja x + y ≤ 2. Optimointialue on kolmiomainen alue, jonka pisteet ovat (0,0), (2,0) ja (0,2).