normaaliryhmää

Normaaliryhmä on ryhmäteorian käsite. Olkoon G ryhmä ja N sen alakohde (N ≤ G). N on normaaliryhmä, jos gNg^{-1} = N kaikille g ∈ G. Tämän voi tiivistää sanomalla, että vasen ja oikea kosetti ovat yhteneväiset: gN = Ng jokaiselle g ∈ G.

Normaaliryhmä voidaan karakterisoida usealla tavalla. Yksi on konjugaatioon invarianssi: jokainen g ∈ G konjugoi N:n takaisin N:iin, eli g n g^{-1} ∈ N kaikille n ∈ N. Tämän seuraa, että vasemmat ja oikeat kosetit ovat samoja ja G/N on ryhmä. N on normaaliryhmä, jos ja vain jos N on jonkin ryhmähomomorfin kerroin: N = ker φ jossain homomorfisessa φ: G → H.

Esimerkkejä. Jos G on abelianinen ryhmä, kaikki alakohdat ovat normaaliryhmiä. S_n:ssä A_n on normaaliryhmä kaikilla n ≥ 2. Keskinen osaryhmä Z(G) on aina normaaliryhmä. Commutator-ryhmä [G,G] (eli ryhmä, jonka kanssa G voidaan mittaamalla abelianisoida) on normaali, ja G/[G,G] on enimmän abelinen maksimaalinen kvotiantti.

Kertaryhmät ja ydin. Oli Normalisoitu N, muodostuu kertaryhmä G/N. Tämä tuloksena oleva ryhmä saa alkionsa koseteista gN ja (gN)(hN) = (gh)N. Normaaliryhmien joukko muodostaa osaltaan latticein: leikkaus ja tulo ovat normaaleja. Välineenä on myös ydin (core) of a subgroup H: core_G(H) = ∩_{g ∈ G} gHg^{-1}, suurin normaali aliryhmä, joka on aliryhmä H:n sisällä.