Normaaliryhmien

Normaaliryhmät ovat keskeinen käsite abstraktissa algebrassa, erityisesti ryhmäteoriassa. Ryhmä H on normaali aliryhmä ryhmässä G, jos se täyttää tietyt ehdot. Yksi tapa määritellä normaali aliryhmä on, että H on normaali aliryhmä G:ssä, jos sen konjugaatit ovat aina H itse. Toisin sanoen, kaikilla ryhmän G alkioilla g ja kaikilla ryhmän H alkioilla h pätee, että ghg⁻¹ kuuluu H:hon.

Toinen ekvivalentti määritelmä normaaleille aliryhmille on, että H on normaali aliryhmä G:ssä, jos sen vasemmat sivuluokat ovat samat kuin sen oikeat sivuluokat. Sivuluokka on joukko alkioita, jotka saadaan kertomalla kaikki H:n alkiot jollakin G:n alkiolla. Vasen sivuluokka on muotoa gH ja oikea sivuluokka on muotoa Hg. Jos jokaiselle g ∈ G pätee gH = Hg, niin H on normaali aliryhmä.

Normaalit aliryhmät ovat tärkeitä, koska ne mahdollistavat ns. tekijäryhmien muodostamisen. Jos H on normaali aliryhmä G:ssä, voidaan muodostaa ryhmä, jonka alkiot ovat H:n sivuluokat ja jonka laskutoimitus määritellään sivuluokkien kertolaskuna. Tämä tekijäryhmä, merkitty G/H, on perusrakenne monissa ryhmäteorian tuloksissa, kuten ryhmähomomorfismin peruslauseessa. Kaikki triviaaliryhmän alkiot ja ryhmä itse ovat aina normaaleja aliryhmiä. Kaikki Abelisen ryhmän aliryhmät ovat normaaleja.