Normaaliryhmät

Normaaliryhmät ovat ryhmäteoriassa erikoistapaus aliryhmistä. Aliryhmä H ryhmässä G on normaaliryhmä, jos se on invariantti konjugaatiossa. Tämä tarkoittaa, että kaikille ryhmän G alkioille g ja kaikille aliryhmän H alkioille h, alkio g h g⁻¹ kuuluu myös aliryhmään H. Toisin sanoen, H on sama kuin sen konjugaattien yhdiste, eli gHg⁻¹ = H kaikilla g ∈ G. Jos tämä ehto täyttyy, merkitään H ◁ G.

Normaaliryhmät ovat tärkeitä, koska niiden avulla voidaan muodostaa nk. tekijäryhmiä tai剰余ryhmiä. Jos H on normaaliryhmä G:ssä, niin joukko vasemmanpuoleisista sivuluokista G/H, jossa operaationa on sivuluokkien kertominen, muodostaa itsekin ryhmän. Tämä tekijäryhmä on määritelty nk. isomorfismilauseiden avulla, jotka ovat keskeisiä ryhmäteoriassa.

Jokainen ryhmän G triviaalialiryhmä {e} ja koko ryhmä G itse ovat aina normaaliryhmiä G:ssä. Myös ryhmän keskus Z(G), joka koostuu alkioista, jotka kommutoivat kaikkien ryhmän G alkioiden kanssa, on aina normaaliryhmä. Yksinkertaisessa ryhmässä ainoat normaaliryhmät ovat triviaalialiryhmä ja koko ryhmä itse.