neliömatriisia

Neliömatriisi on matriisi, jossa rivien ja sarakkeiden lukumäärä on sama, eli n×n-matriisi. Se esiintyy usein lineaarialgebrassa, koska se kuvaa lineaarikuvauksia samasta vektoriavaruudesta itsensä.

Keskeisiä ominaisuuksia ovat determinantti ja jälki (trace). Determinantti kertoo muun muassa matriisin käännettävyyden: neliömatriisilla on käänteismatriisi täsmälleen silloin, kun determinantti on nolla. Jälki on diagonaalisten alkioiden summa ja liittyy ominaisarvojen summaan.

Ominaisarvot ja ominaisvektorit ovat neliömatriisin tärkeitä invarianttiopeja; matriisi on diagonaalisoitavissa, jos sillä on riittävästi itsenäisiä ominaisvektoreita. Jos se ei ole diagonaalisoitavissa, sille on olemassa Jordanin normaalimuoto kompleksikentässä.

Neliömatriisit voivat olla erityistyyppejä, kuten symmetrisiä (A^T = A), antisymmetrisiä (A^T = −A) tai yksikkömatriiseja (identiteetti). Niiden potenssit määritellään kertolaskun kautta ja niillä on sovelluksia mm. differentiaaliyhtälöiden ratkaisuissa, tietokonegrafiikassa, optimoinnissa ja kvanttimekaniikassa.

Matriisien operaatioita, kuten yhteen- ja vähennyslasku, kertolasku ja käänteismatriisin laskenta, käsitellään erityisillä algoritmeilla. Neliömatriiseihin liittyvät käsitteet muodostavat perustan monille teoreettisille ja käytännöllisille menetelmille lineaarialgebrassa.