martingaleegenskaper

En martingale er en stokastisk prosess som modellerer en rettferdig forventningsutvikling over tid. Formelt innebærer dette en prosess X = (X_n) tilpasset en filtrering F = (F_n) slik at for alle n er X_n integrerbar og E[X_{n+1} | F_n] = X_n nesten sikkert. Dette betyr at, gitt all informasjon opp til tid n, er den betingede forventningen av verdien på tid n+1 lik verdien på tid n.

Det er naturlig å se på to relaterte begreper: submartingale og supermartingale. En prosess kalles en submartingale hvis E[X_{n+1} | F_n] ≥ X_n for alle n, altså forventet verdiøkning, og en supermartingale hvis E[X_{n+1} | F_n] ≤ X_n, altså forventet verdinedgang. Begge er tilpasningsdyktige og opprettholder filtreringens informasjonsstrøm.

Stopperegler og stoppetider spiller også en rolle. En stopping time tau er en tilfeldig tid som avhenger av informasjonen opp til taus observasjoner. If X er martingale, og tau oppfyller visse tekniske betingelser (for eksempel at tau er avgrenset eller at X_tau er integrerbart og familien er uniformt integrerbar), kan E[X_tau] = E[X_0] gjelde. Dette er kjent som optional stopping-teoremet og beskriver når forventningen bevares ved stopp.

Konvergens er en annen viktig egenskap. Ikke-negative martingaler konvergerer nesten sikkert til en grense X_infty, og hvis familien er uniformt integrerbar, konvergerer de også i L^1 til X_infty. Doob-konvergensteoremet gir vilkår for slike konvergensresultater.

Eksempel: Den klassiske enkle rettferdige tilfeldige vandringen, hvor X_n er summen av n uavhengige ±1-trinn, er en martingale med hensyn til sin naturlige filtrering.