mængderne

Mængderne er et centralt begreb i mængdelæren. En mængde A er en samling af objekter kaldet elementer, hvor hvert element forekommer højst én gang, og hvor rækkefølgen ikke spiller nogen rolle. Medlemskab angives med tegnet ∈: x ∈ A betyder, at x tilhører A. Den tomme mængde Ø har ingen elementer. Rækkefølgen og duplikater er ikke relevante for en mængde. Kardinaliteten |A| betegner antallet af elementer i A; mængder med endeligt antal elementer kaldes endelige, mens andre kaldes uendelige. Eksempler: N (naturlige tal), Z (heltal), Q (rationelle), R (reelle) som typiske uendelige mængder.

To grundlæggende relationer er, at A er en delmængde af B (A ⊆ B) og at A er en rigtig delmængde af B (A ⊂ B). De klassiske operationer på mængder er forening (A ∪ B), snit (A ∩ B), forskel eller komplement (A \ B eller B^c, afhængigt af universet). Universet U er den mængde, under hvilken operationer som komplement regnes. Forening og snit følger de grundlæggende regler i Venn-diagrammer og logikken. En anden vigtig konstruktion er potensmængden P(A), som er mængden af alle delmængder til A. Det kartesiske produkt A × B betegner alle par (a,b) med a ∈ A og b ∈ B og danner grundlag for relationer og funktioner.

Mængdelære udgør fundamentet for matematisk ræsonnement og anvendes i logik, sandsynlighed, datalogi og informationshåndtering. Den giver metoder til at definere funktioner, relationer og klasser af objekter gennem mængder og operationer. Mange beviser bygger på grundlæggende antagelser i mængdelæren, typisk ud fra ZFC-axiomatikken (Zermelo-Fraenkel med valg). Et centralt axiom er ekstensionalitetsaxiomet: to mængder er lige, hvis de har de samme elementer. Mængdelære fungerer som et universelt grundlag for moderne matematik og danner grundlag for læringsområder som topologi, algebra og analyse.