lämmöyhtälö

Lämmönjohtumisyhtälö, tai lämmöyhtälö, on osittaisdifferentiaaliyhtälö, joka kuvaa lämpötilan jakautumista ja sen muutosta ajan myötä kiinteässä aineessa. Yhtälö perustuu Fourier'n lakiin lämmönjohtumisesta, jonka mukaan lämpövirta on verrannollinen lämpötilan gradienttiin.

Yleisimmässä muodossaan lämmönjohtumisyhtälö on muotoa $\frac{\partial u}{\partial t} = \alpha \nabla^2 u$, missä $u(x, t)$ on lämpötila pisteessä $x$ ajanhetkellä $t$, $\alpha$ on lämmönjohtavuuskerroin, joka kuvaa aineen kykyä johtaa lämpöä, ja $\nabla^2$ on Laplacen operaattori. Laplacen operaattori kuvaa lämpötilan toisia osittaisderivaattoja tilakoordinaattien suhteen.

Yhtälö kertoo, että lämpötilan muutosnopeus ajan suhteen on verrannollinen lämpötilan avaruudelliseen käyryyteen. Toisin sanoen, alueilla, joissa lämpötila muuttuu voimakkaasti, lämpötila pyrkii tasoittumaan ajan kuluessa, kun lämpö virtaa kuumemmista alueista kylmempiin. Lämmönjohtavuuskerroin $\alpha$ riippuu aineen ominaisuuksista, kuten ominaislämpökapasiteetista ja tiheydestä.

Lämmönjohtumisyhtälöä käytetään laajasti fysiikassa ja insinööritieteissä erilaisten lämpöilmiöiden mallintamiseen, kuten lämpötilan leviämisen metallitangoissa, lämmön haihtumisen elektroniikassa tai maan lämpötilan muutosten tutkimisessa. Yhtälön ratkaiseminen vaatii yleensä lisäksi alku- ja reunaehtoja, jotka kuvaavat systeemin alkutilaa ja vuorovaikutusta ympäristön kanssa.