lnfattoriale

lnfattoriale è comunemente indicato come ln(n!) e rappresenta il logaritmo naturale del fattoriale di n. Per un intero n≥0 si ha n! = ∏_{k=1}^n k e ln(n!) = ∑_{k=1}^n ln k; con 0! = 1, quindi ln(0!) = 0. L’estensione continua a numeri reali si ottiene tramite la funzione gamma: ln(n!) = ln Γ(n+1).

Stirling's approximation è una formula fondamentale per ln(n!). Per grandi n vale ln(n!) ≈ n ln n - n + (1/2) ln(2π n) + ε_n, con ε_n → 0; una versione semplificata è ln(n!) ≈ n ln n - n. Queste espressioni permettono di calcolare approssimazioni di fattoriali senza utilizzare grandi prodotti o potenze, utili in analisi asintotiche e computazione.

L’utilità pratica del lnfattoriale si manifesta nelle espressioni che coinvolgono grandezze combinatorie o probabilistiche, dove si preferisce lavorare in forma logaritmica per evitare overflow e per semplificare moltiplicazioni in somme. Ad esempio, per coefficienti binomiali ln C(n,k) può essere scritto come ln n! - ln k! - ln(n-k)!.

Estensioni e legami matematici: ln(n!) è uguale a ln Γ(n+1), collegando la log-factorial alla funzione gamma. Questo rende possibile estendere il concetto a valori reali e utilizzare strumenti analitici della gamma e dei poligamma. L’uso del logaritmo del fattoriale è comune in statistica, teoria dell’informazione e combinatoria.