fattoriale

La fattoriale, indicata con n!, è la funzione matematica che associa a ogni intero non negativo n il prodotto dei numeri interi positivi da 1 a n. Per n = 0 si definisce 0! = 1. Esempi comuni sono 3! = 6 e 5! = 120. La definizione è primaria per interi non negativi; non è definita per interi negativi. Esiste però un’estensione attraverso la funzione Gamma, che soddisfa Gamma(n+1) = n! per ogni intero non negativo; in generale x! può essere definito come Gamma(x+1) per x > -1.

Proprietà: la fattoriale è definita ricorsivamente con n! = n × (n−1)!, ponendo 0! = 1. Ha una crescita molto rapida: n! cresce più velocemente di qualsiasi funzione esponenziale di base costante. L’approssimazione di Stirling, n! ~ sqrt(2πn) (n/e)^n, descrive bene l’andamento per grandi n.

Interpretazione combinatoria: n! è il numero di permutazioni distinte di n oggetti, cioè tutte le disposizioni lineari possibili. Appare in formule come le permutazioni P(n,k) = n!/(n−k)!, e in molte espressioni che conteggiano ordinamenti o arrangiamenti.

Estensioni comuni: esistono varianti come il doppio fattoriale n!! e altre generalizzazioni che estendono la nozione a sequenze di passi diversi o a casi particolari.

Storia: il simbolo n! fu introdotto da Christian Kramp nel 1808 come notazione per la fattoriale.