lineariteet

Lineariteetit, tai lineaarisuus, ovat ominaisuus, jota käyttävät tietyt kartat ja järjestelmät säilyttääkseen vektoriyhteenlaskun ja skalaarien kertolaskun. Matemaattisesti kartta T vektoritilasta V toiseen tilaan W on lineaarinen, jos kaikille x ja y sekä kaikille skaalareille a pätee T(x+y)=T(x)+T(y) ja T(a x)=a T(x).

Lineaariteetit ovat keskeisiä lineaar algebraan liittyvissä rakenteissa. Lineaarinen kuva säilyttää additiivisuuden ja skalaarisen kertolaskun, minkä ansiosta sen kuvat muodostavat algebrallisesti subavaruuden. Kahden lineaarisen kartan koostaminen on jälleen lineaarinen kartta, ja lineaariset järjestelmät voidaan usein analysoida matriisein.

Esimerkkejä: funktio f: R^n → R^m, määritelty f(x)=A x, jossa A on kiinteä matriisi, on lineaarinen. Funktio f(x)=2x on lineaarinen, kun domain on R. Ei-lineaarisia esimerkkejä ovat f(x)=x^2 tai f(x)=|x|, koska ne eivät täytä additiivisuutta tai skalaarista homogeenisuutta.

Differentiaaliyhtälöissä lineaarisuus tarkoittaa, että riippuva muuttuja ja sen derivaatat esiintyvät lineaarisesti, jolloin superpositioperiaate pätee ja ratkaisujen tilat muodostuvat joukkoina. Lineaarisuus korostuu myös fysiikassa, tekniikassa, signaalinkäsittelyssä, tietokonegrafiikassa ja taloustieteessä.

Lineaarisuus on usein käytännön malli, joka soveltuu hyvin pienillä poikkeuksilla. Usein järjestelmiä lähestytään lineaarisilla malleilla tai lineaarisilla lähennyksillä, kun halutaan nopea ja hallittavissa oleva analyysi, vaikka todellisuus voi olla epälineaarinen.