Differentiaaliyhtälöissä

Differentiaaliyhtälö on matemaattinen yhtälö, jossa tuntematon funktio sekä sen derivaatat esiintyvät. Sellainen yhtälö määrittelee suhteen funktion muutosnopeuden ja sen arvojen välillä. Ratkaisu on funktio, joka täyttää annetun ehdon kaikissa määritellyissä pisteissä.

Yhtälöitä voidaan luokitella niiden ominaisuuksien mukaan. ODE:t (ordinary differential equations) käsittelevät funktiota yhdellä muuttujalla, kun taas PDE:t (partial differential equations) voivat riippua useammasta muuttujasta. Ominaisuuksien mukaan ne voivat olla lineaarisia tai epälineaarisia, homogeenisia tai ei-homogeenisiä sekä ensimmäisen tai korkeamman järjestyksen.

Yleisiä analyyttisiä ratkaisutapoja ODE:lle ovat erottaminen (separable equations), integroitava tekijä (integrointitekijä) ensimmäisen kertalaisesta lineaarisesta yhtälöstä sekä toisen asteen lineaariset yhtälöt. PDE-ongelmiin käytetään esimerkiksi erotusmenetelmää, muuttujien erottelua sekä Fourier- ja Laplace‑muunnoksia sekä ominaiskäyrien menetelmää.

On olemassaolo- ja yksikäsisyysteoreemit: IVP:lle voidaan usein taata paikallinen ratkaisu, kun oikea puoli f(t,y) on jatkuva ja Lipschitzin ehtoja täyttävä y:n suhteen.

Ratkaisut voivat olla analyyttisiä tai ne voidaan arvioida numeerisesti. Yleisiä numeerisia menetelmiä ovat Eulerin menetelmä sekä Runge–Kutta -menetelmät, joita käytetään malleissa, joissa ei ole sulkeutunutta ratkaisua. Differentiaaliyhtälöt esiintyvät monilla aloilla, kuten fysiikassa, tekniikassa, biologiassa ja taloustieteissä.